「単調増加」という言葉を聞いたとき、多くの人が真っ先に疑問に抱くのが「値が一定のまま横ばいになる区間があっても、単調増加と呼んでよいのか」という点です。数学の世界における単調増加の定義と詳細まとめを確認すると、実は国際的にも国内の学術界でも、2つの異なる流儀が存在しています。
基本となる定義は、ある区間内の任意の2つの実数 $x_1, x_2$ に対して、$x_1 < x_2$ であるときに常に対応する関数値がどう変化するかという関係性に基づきます。
1つ目は、常に値が真に大きくなり続けるケースです。$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ が成立するとき、これを厳密に狭義単調増加（strictly increasing）と呼びます。ここでは等号（$=$）は決して含まれません。グラフを描けば、途中で水平になる「踊り場」が一切存在せず、右へ進むほど確実に上へと登り詰めていきます。
2つ目は、平坦な区間を許容するケースです。$x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$ が成立するとき、これを広義単調増加（weakly increasing）または単調非減少（non-decreasing）と呼びます。ここで単調増加イコールを含む理由は、「一度到達した値から決して減少しない（減らない）」という性質そのものをひとつのクラスとして抽象化し、解析学的な定理をより広い関数群に適用しやすくするためです。
文献や指導要領によって、単に「単調増加」とだけ記述されている場合、それが狭義を指しているのか広義を指しているのかは、文脈に強く依存します。この広義単調増加と狭義単調増加の違いをあらかじめ理解しておくことが、記号の迷宮に迷い込まないための防波堤となります。
